С самых первых дней человек неразрывно связан с различными средами, которые постоянно с ним взаимодействуют, и по-своему влияют не только на него, но и на среду его обитания и образ жизни. Человек и среда, образуют некую систему из множества элементов, обладающих специфическими свойствами. Эта взаимосвязь порождает множество факторов, влияющих как на человека, так и на среду его обитания. Влияние может иметь как положительные, так и негативные последствия для обеих сторон.
С одной стороны, негативные последствия проявляются в виде стихийных бедствий (ураганы, цунами, извержение вулканов), с другой – производственная деятельность человека (аварии на заводах). Для прогнозирования таких событий и уменьшения последствий после начали применять программу изучающую неустойчивость различных систем – теорию катастроф.
Теория катастроф основана на принципах математики, однако эта теория не является частью самой математики, так как использует не только расчеты, но и использует осмысление сущностных характеристик реальности. В программа теории использует разработки математических моделей, оценивающих не только стабильность форм, но и их появление, развитие и исчезновение. Теория катастроф универсальна тем, что ее форму можно применять практически к любой системе или среде. Она ориентирована на понимание реальности: раскрывает динамические ситуации, управляющие эволюцией естественных явлений, человека и общества.
Начиная с XVIII ст. и по настоящее время многие авторы изучали и изучают теорию катастроф и ее применение к различным сферам деятельности и жизни человека. Первооткрывателем теории катастроф можно считать Исаака Ньютона. В 1686 году он провел экспериментальное исследование движений маятника в воздухе и воде («Математические начала натуральной философии»). Затухающие колебания маятника представляют наиболее типичный пример асимптотически устойчивой системы.
Следующим шагом в развитии теории катастроф были работы математика в 1744 году Леонарда Эйлера по теории устойчивости механических систем. В своих работах он решил задачу устойчивости состояния равновесия механической системы, применил созданное им вариационное исчисление для рассмотрения сжатой упругой колонны (эластика Эйлера). Существенный вклад в механику принадлежит Уильяму Гамильтону, представивший свои труды по консервативной (гамильтоновой) динамической системе.
Первооткрывателем теории катастроф можно считать Исаака Ньютона. В 1686 году он провел экспериментальное исследование движений маятника в воздухе и воде («Математические начала натуральной философии»). Затухающие колебания маятника представляют наиболее типичный пример асимптотически устойчивой системы.
В 50-е годы в свет выходит статья, в которой объединяются два абстрактные раздела. Первый – математический, включающий в себя алгебраическую и дифференциальную геометрию, теорию групп, порожденных отражениями, теорию комплексных пространств, коммутативную алгебру. И второй – прикладной, которому относятся такие разделы как алгебраическую и дифференциальную геометрию, теорию групп, порожденных отражениями, теорию комплексных пространств, коммутативную алгебру. Название этой статьи «Об отображениях плоскости на плоскость», а автор американский математик Хасслер Уитни.
В 80-е гг. происходит скачок в развитии теории катастроф. Публикуется множество различных работ по ее изучению и применению к различным системам. Примером могут служить работы таких авторов как А.В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича «Нелинейные волны. Структуры и бифуркации», «Нелинейные волны. Динамика и эволюция»; Г. Заславский и Р. Сагдеев «Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса»; Р. Гилмор «Прикладная теория катастроф».
Изучению и применению теории катастроф посвящено множество научных работ и статей, изучением теории катастроф занимались и занимаются до сих пор. Теория катастроф не обособлена, она имеет пересечение и с другими теориями, например, с теорией колебаний и волн, с теорией динамических систем, а так же свое применение она нашла в других науках: экономике, физике, биологии, экологии, психологии.
Математическую теорию катастроф применяют в различных областях, не только в прикладной математике, физике, так же ее применяют и к экономическим системам. Часто термин теория катастроф применяют без приставки слова «математическая». В таких случаях может произойти путаница, ведь термин «теория катастроф», в таком случае, принимает разные значения.
В основе теории катастроф лежит анализ критических точек потенциальной функции. При таком подходе не только первая производная функции равна нулю, но и производные более высокого порядка также равны нулю. К изучению динамики развития данных точек можно применить разложение потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров. Далее все зависит от поведения точек роста.
В первом случае, если точки формируют структурную область стабильности, то они являются организующими центрами для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности и с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Во втором же случае, если в потенциальной функции наблюдается зависимость от трех или менее активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае применяется семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, к которым можно применить стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить критические точки при помощи гладкой трансформации, обращение которой также гладко.
Почти все экологические системы обладают четырьмя основными свойствами. Благодаря этим свойствам, применяя математическую топологию, можно применять теорию катастроф к данным системам. Определение основным свойствам систем описали в пособии «Системная экология» Бимодальность – для системы характерно одно из двух (или более) состояний, а свойство разрывности предполагает, что между этими двумя состояниями оказывается сравнительно мало индивидов или наблюдений.
«Бимодальность – для системы характерно одно из двух (или более) состояний, а свойство разрывности предполагает, что между этими двумя состояниями оказывается сравнительно мало индивидов или наблюдений.
Разрывность – малые изменения какой-либо переменной, в том числе времени, вызывают большие изменения в поведении или состоянии.
Гистерезис – система обладает четко выраженной замедленной реакцией на некое воздействие, причем эта реакция идет по одному пути, когда воздействие возрастает, и по другому, когда оно убывает.
Дивергенция – близкие начальные условия эволюционируют к значительно удаленным друг от друга конечным состояниям».
В 1970 г. впервые начали применять модели, основанные применении теории катастроф к различным системам. Они привлекали стойкостью и наглядностью в изображении. Но уже в то время вызвало затруднение применение теории катастроф к ситуациям, где используется большое количество измерений. Примером может служить многообразие параметров при оценке экологических данных.
Так же существуют потенциальные функции с двумя активными переменными, так называемые омбилические катастрофы. Они являются примерами катастроф второго порядка. Омбилические катастрофы применяют в оптике при наблюдении отражения света от трёхмерных поверхностей. Катастрофы, имеющие в функции две активных переменных, связаны с геометрией почти сферических поверхностей.
Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу – как процесс создания структур, похожих на волосяной покров.
Другой подход, именуемый теория катастроф в природе, разработал Жорж Кювье. Этот подход был предложен до математического и за основу в своих исследованиях Кювье взял историю планеты Земля, ее флору и фауну. Согласно его теории причиной вымирания были периодически происходившие крупные геологические катастрофы, уничтожавшие на больших территориях животных и растительности. Затем, опустевшие территории заселялись видами, проникавшими из соседних областей.
Но его теория тоже не осталась на месте, и его ученики и последователи, внесли свой вклад в развитие теории Кювье. Они не остановились только на территориальных катастрофах, а выдвинули свою теорию, о том, что катастрофы охватывали весь земной шар сразу. После каждой такой катастрофы следовал божественный акт творения, который изменял полностью всю земную поверхность с его обитателями. По их предположениям таких катастроф за все время существования Земли насчитывается 27.
В определенных ситуациях прогнозирование будущего, незначительных движений, которые могут повлиять на ход развития, очень важно. Умение определить, на какой стадии и как далеко система находится от точки катастрофы. Конечно, именно для этого строят математические модели, в которых изучают зависимость системы от внешних факторов, но нередко на практике встречаются случаи, когда у исследователей нет точных предположений, какое эволюционное уравнение подойдет для описания развития системы. Но, даже не смотря на это, фактически, можно предугадать некоторые косвенные признаки того, что изучаемая система приближается к точке катастрофы.
В своей монографии Чуличков упоминает о так называемых «флагах катастроф», другими словами об особенностях поведения системы, по которым можно судить о приближении критической точки. Всего он выделил пять таких «флагов»:
1. Бимодальность. Кардинальная смена «старого» на «новое», от старой системы не остается ничего, новая ее заменяет полностью.
2. Пороговость (скачкообразность). Резкое, скачкообразное изменение в системе при плавном изменении ее параметров происходит в момент достижения параметрами некоторых критических значений.
3. Нарушение симметрии. До прохождения точки катастрофы системе имела симметрию в отношении выбора будущих альтернатив, и равноправие. В точке катастрофы выбор происходит в пользу одной и альтернатив и симметрия возможностей, равноправие нарушается.
4 Дивергенция (неустойчивость по начальным данным). Малое изменение состояния системы перед точкой катастрофы может радикально повлиять на выбор альтернативы. То, что было рядом до катастрофы, окажется разделенным после нее.
5. Гистерезис. Память системы о произошедшей катастрофе, необратимость ее истории. Результат остается даже при исчезновении причины.
Выделяют два неопровержимых признака того, что катастрофа неминуема для системы. Они позволяют предсказывать катастрофу в непосредственной близости от нее. Эти признаки всегда прослеживаются в моделях катастроф.
Первый – это увеличение шумовых колебаний. Этот признак можно наблюдать незадолго до точки катастрофы, он ярко проявляется в самой пике катастрофы и быстро исчезает после. Фактически он обнаруживает жизнь микроуровня, которая выходит на поверхность и становится значимой в период кризиса системы. При этом исчезающие макропеременные ведут себя все более хаотично и погибают. На языке микроуровня это называют увеличением амплитуды колебаний, т.е. величиной кратковременных отклонений от среднего значения, которые мы и наблюдаем как случайные колебания в системе, а точнее шум перед и во время катастрофы.
Второй – замедление характерных ритмов. В отличие от шумовых колебаний, замедление характеристики ритмов позволяющие заранее предсказать катастрофу. Принцип этого признака довольно простой: перед точкой катастрофы, точкой смены программы функционирования системы, происходит остановка этой программы. Если колебания присутствуют, то они должны замедляться, если колебаний нет, то их можно искусственно возбудить и наблюдать замедление. В точке катастрофы система уходит от состояния равновесия, становится более гибкой, менее упругой, ее собственные колебания становятся более мягкими, медленными, низкочастотными.
Результат может быть непредсказуемым, он не зависит от природы системы. По мере приближения к точке катастрофы, ритмы, характерные системе, замедляются. По степени замедления, применяя теорию катастроф, можно предугадать тип будущей катастрофы, ее альтернативны последствия, опираясь на серьезные математические расчеты.
Теория катастроф состоит из сложных математических расчетов, ее главная цель: понять изменение и прерывность в системах, то есть поведение системы. Если система не подвергается каким-либо изменениям, то ее состояние будет стабильным. Но если она подвергается изменениям, то в ней начнут происходить реакции, которые будут пытаться привести систему к стабильному состоянию. Но если изменения слишком сильны, и системе не хватает сил стабилизироваться, то происходит катастрофическое (глобальное) изменение и система принимает новое устойчивое состояние.
Таким образом, модели теории катастроф используют для понимания и предсказывания поведения систем.
Теория катастроф является универсальным методом для исследования скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений. Существуют множество различные публикации, в которых теорию катастроф применяют к исследованиям биения сердца, в геометрической и физической оптике, эмбриологии, лингвистике, психологии, экономике, гидродинамике, геологии и теории элементарных частиц. Среди опубликованных работ по теории катастроф есть исследования устойчивости кораблей, моделирования деятельности мозга и психических расстройств, восстаний заключенных в тюрьмах, поведения биржевых игроков, влияния алкоголя на водителей транспортных средств.
Одним из первых, кто применил теорию катастроф в экономике, для оценки аварии на фондовых рынках был Zeeman. Но основу для применения в экономике заложил Debre. В дальнейшем проводили анализ применения теории катастроф к монополии, бизнес-циклами. Широкое применение теории катастроф в физике встречается в термодинамике, лазерной физике, оптике, геометрии жидкости.
Так же широкое применение теория катастроф получила в биологии и экологии. Основоположником стал Кювье, он предложил учение о периодической гибели органического мира вследствие катастрофических событий планетарного масштаба, во время которых происходит перестройка геологии Земли, в результате появляются новые неизменяемые виды и роды живых организмов, не связанные с погибшими формами.
В 1864 году была выдвинута теория о неокатастрофизме Э. Зюссом, он эволюционировал теорию Кювье. В дальнейшем была разработана теория сальтоционизма. Теорию катастроф применяли в биологии для прогнозирования роста скачка популяции насекомых, болезни деревьев и цветение водорослей. Так же теорию катастроф использовали для понимания альтернативных стабильных состояний в экосистемах.
Но так же, с помощью теории катастроф описывают и экологические проблемы окружающей среды: распространение загрязненности, эволюцию экосистем, оценки развития экосистем и комплексов. Развитие двигательного аппарата у младенцев, так же изучали при помощи теории катастроф модели типа сборка.
В наше время теорию катастроф не обошла и такая наука как психология. Как и в других областях применения теории катастроф одним из первых ее применил к изучению Zeeman. На основе исследований Лоренца, он проводил исследования в поведении заключенных в тюрьме. Так же теорию катастроф применили в психологии и социологии.
Fazey и Hardy, Hardy и Parfitt применили модель теории катастроф типа сборка в исследованиях для спортивных результатов (отношение между тревогой, возбуждением и производительностью у спортсменов).
Опираясь на статьи по психологии, в теории катастроф появилась отдельная ветвь – прогнозирование социальных кризисов. Совокупность социальных процессов в обществе, скачкообразных изменений, происходящих в обществе и определяющих устойчивость развития государства или его деградацию.
Теория катастроф применяется и в механике конструкций. Изучение поведения конструкций под нагрузкой и их чувствительность для строительства изучали Эйлер, Лагранж, Wimmers, Savelsbergh, Kamp; Hartelman, Назаров. При постройке хранилищ опасных веществ, при постройке заводов, фабрик используют прогнозирование при помощи теории катастроф, что бы избежать крупных техногенных катастроф.
Прогнозирование будущего на основе прошлых событий в истории. К прогнозированию природных катастроф также применяли теорию катастроф. В своих работах Арнольд, Томпсон, Питухин, Скобцов применяли теорию катастроф в механике и машиностроении. Во избежание крупных аварий теория катастроф применяют для моделирования ситуаций в море.
Теория катастроф берет свое начало из топологии и математического анализа. Ее первооткрывателями, давшими толчок для развития стали Уитни, Пуанкаре, Ляпунов и Андронов. Все их работы послужили основой для исследований математика Рене Тома. Именно он, опираясь на их исследования, выдвинул единую теорию – теорию катастроф.
Теории катастроф можно применить к множеству систем, проанализировать множество ситуаций, встречающихся в практике. При помощи теории катастроф можно прогнозировать множество процессов, протекающих вокруг человека, но не зависящих от него. Конечно, математическая теория прогнозирования не может предотвратить саму катастрофу, не может повлиять на нее, но при помощи этого знания можно уменьшить последствия катастрофы.
Идеи применения теории катастроф в разных научных направлениях помогают спрогнозировать те или иные ситуации, до их наступления. Теория катастроф показывает, почему реальные перемены могут стать опасными явлениями, особенно в экологии. Теория показывает, что изменения неизбежны, но на них можно оказывать влияние.
Применение теорий катастроф в экологии очень важно. Это позволит предсказывать приближение экологических катастроф, дать возможность избежать плачевных последствий. Человека постоянно окружает множество экологических систем. Но не только человек зависит от этих систем, но состояние экосистем тоже, в какой-то степени зависит от человека. Конечно, вмешательство человека неизбежно в природу. Но применяя модели теории катастроф, можно предсказать, насколько губительным для системы будет это вмешательство, и возможно, изменить средства и подходы для своего вмешательства. Или с другой стороны, зная, что какая-либо экосистема подходит к точке катастрофы, попытаться спасти ее или хотя бы уменьшить последствия. Примером могут служить лесные пожары, засуха, наводнения и др.
Важной составляющей для функционирования всех систем является водная экосистема. Для леса водная среда является важным «продуктом», но и водоемы зависят от леса. Леса увеличивают осадки, увеличивают поверхностный сток, уменьшают эрозию и снижают пик паводков. Очень часто при вырубке лесов не обращают внимание на эти факторы и исчезновение лесов может серьезно повлиять на сток вод. Это все может привести к изменению ландшафта, и, в критических случаях, изменению флоры и фауны территорий, зависящих от этих водоемов. Во избежание таких ситуаций следует применять модели для прогнозирования состояния водоемов при вырубке или других видах обезлесения, например пожарах, ураганах.
Мы привыкли к стабильности и постоянству. Мы ступаем по твердой поверхности Земли и верим, что она всегда будет служить нам опорой. Мы знаем, что вслед за зимой придет лето, станет тепло и солнечно, и так будет всегда. Мы думаем, что мир вокруг нас не может внезапно измениться, и, исходя из этого, формируем свой образ жизни и приоритеты, планируем свои действия.
Такая привычная, "бытовая" точка зрения на устойчивость нашего мира нашла свое отражение в науке XVIII века, когда создавалось классическое естествознание. Его основой стал математический язык дифференциального и интегрального исчислений; считалось, что все зависимости можно описывать непрерывными функциями, для которых характерно небольшое изменение значения функции при малых приращениях аргументов. Казалось бы, логично: приложено чуть больше усилий – получен чуть больший результат... Более того, если математические модели не отвечали этим условиям, то они считались некорректными, а значит, лишенными реального содержания.
Но... Легкий поворот выключателя приводит в действие управляющие механизмы, и открываются створки плотины, мощные потоки воды обрушиваются на лопатки турбин, заставляя крутиться многотонный вал генератора. Легкий удар по детонатору вызывает взрыв, при котором мгновенно высвобождается энергия, сравнимая с энергией маленького солнца. Есть примеры и нерукотворных природных процессов, когда в результате слабого воздействия пробуждаются силы, во много раз более мощные: маленький камешек может вызвать горный обвал, страшную по своим последствиям снежную лавину и даже землетрясение. Научная и инженерная мысль открыла множество примеров скачкообразного изменения системы при малых воздействиях, но, как ни странно, на наши представления об окружающем мире до недавнего времени это почти не влияло.
Еще в древности, например в античной Греции, среди философов существовало представление, что вся природа живет и развивается благодаря соразмерности и гармонии величайших сил – противоположностей, находящихся в равновесии. Нарушение этого равновесия может разрушить весь мир. За гармонию противоположностей отвечают боги, и они прикладывают немалые усилия для ее сохранения. Вспомним миф о Фаэтоне, который упросил своего отца Гелиоса дать ему небесную колесницу в доказательство его божественного происхождения. Руки смертного не удержали небесных коней, он не сумел провести колесницу по безопасному пути, где солнечные лучи не опаляют землю, но и не дают ей замерзнуть. Последствия не заставили себя ждать. Чтобы вернуть мир из хаоса, потребовалось вмешательство верховного божества Зевса, восстановившего порядок.
Древние философы понимали, что даже малые изменения, нарушающие гармонию, могут существенно изменить мир, ввергнуть его в хаос. Многие столетия их внимание занимали именно законы этой гармонии, ибо в ней они видели проявление божественной воли, удерживающей мир в порядке. Начиная с пифагорейцев, открывших, что эти законы могут быть записаны на языке цифр и геометрических фигур, математику стали использовать как средство отражения идеальных законов природы, в которой все противоположности соразмерны и уравновешены. Может быть, этим и объясняется упорное нежелание "классических" математиков рассматривать неустойчивые математические модели, в которых возможно резкое нарушение равновесия.
Лишь в ХХ веке появились работы, в которых всерьез заговорили о том, что такие неустойчивости столь же реальны, как и состояния гармонии. Было осознано, что любая система, развиваясь, проходит этапы перестройки, резкого изменения, во время которых происходит перегруппировка сил, переустройство равновесия. Эти этапы характеризуются временным преобладанием одной из сил, что приводит к хаосу, разрушающему предыдущие структуры; затем происходит гармонизация, равновесие восстанавливается, но уже в новом, качественно ином состоянии.
Одной из математических теорий, описывающих резкие переходы, является теория катастроф. Как научная дисциплина она появилась в 70-х годах прошедшего века. Важным достоинством этой теории является то, что она не требует подробных математических моделей и может описывать ситуации не "количественно", а "качественно", а ее результаты и выводы иллюстрируются простыми геометрическими образами.
Такая "наглядность" теории катастроф привела к бурному росту числа публикаций, и наряду с серьезными работами, посвященными, например, устойчивости кораблей, описанию психических явлений, социальных и экономических процессов, появились работы полушутливого характера.
Теория катастроф, наряду с другими современными теориями динамических систем, уже в значительной степени изменила привычные представления об устойчивости и инерционности мира. Благодаря ей мы сегодня (хочется надеяться) лучше понимаем свою ответственность за возможные нарушения гармонии и равновесия противоположных природных сил, к которым ведет неограниченный рост промышленного производства в обществе потребления. Сейчас раздается все больше голосов за то, чтобы провести переоценку ценностей в современном мире и вслед за мудрецами древности вновь начать ценить красоту и соразмерность выше материального изобилия. Ведь если этого не произойдет, то поистине пророческими могут стать слова творца теории катастроф французского ученого Рене Тома: "Быть может, удастся доказать неизбежность некоторых катастроф, например болезней или смерти. Познание не обязательно будет обещанием успеха или выживания: оно может вести также к уверенности в нашем поражении, в нашем конце".
Но наряду со столь мрачными перспективами эта теория открывает и другие возможности. Действительно, коль скоро мы уверились в том, что при определенных условиях очень малые воздействия могут привести к значимым результатам, есть резон не опускать руки даже в самых тупиковых ситуациях – ведь, может быть, кажущаяся безысходность есть лишь признак надвигающейся "катастрофы", обещающей нам новый период расцвета.
История дает немало примеров, когда в критические моменты судьбы народов зависели от решения одного человека, и если ему удавалось "поймать момент", понять необходимость того или иного действия, то начиналось новое время, открывались новые перспективы, воплощались великие идеи. Так, Перикл, обратившись к идеалам единства и гармонии, после страшных разрушений греко-персидских войн привел Аттику к золотому веку классики, когда создавались совершенные вещи – скульптуры, храмы, научные и философские концепции, – к которым мы и сегодня обращаемся как к эталону. При Перикле творили великие Фидий, Анаксагор, Геродот; при нем заново отстроили Акрополь, ставший образцом прекрасного на многие века. Так же девятнадцать веков спустя Козимо Медичи, поддержав возникший интерес к античной культуре, положил начало Ренессансу – эпохе, перевернув шей жизнь средневековой Европы.
Поскольку в определенных ситуациях – в точках катастроф – даже незначительные движения могут повлиять на ход развития, очень полезным окажется умение определять, далеко ли от такой точки находится система. Формально для этого следует изучить зависимость системы от внешних параметров в математических моделях, однако на практике нередко встречаются случаи, когда у исследователя нет даже туманных соображений о том, каким эволюционным уравнением описывается развитие системы. Тем не менее даже в этих ситуациях, патологических с точки зрения математического моделирования, можно указать некоторые косвенные признаки того, что изучаемая система находится вблизи точки катастрофы.
Речь идет о так называемых "флагах катастроф" – особенностях поведения системы, по которым можно судить о приближении критической точки. Перечислим некоторые из них, чаще всего встречающиеся вместе:
- наличие нескольких различных (устойчивых) состояний;
- существование неустойчивых состояний, из которых система выводится слабыми "толчками";
- возможность быстрого изменения системы при малых изменениях внешних условий;
- необратимость системы (невозможность вернуться к прежним условиям);
- гистерезис.
Чтобы проиллюстрировать эти ситуации, можно привести множество примеров из физики, но обратимся лучше к примерам более "жизненным". Всем нам после окончания средней школы приходилось выбирать дальнейший жизненный путь. Первый "флаг катастрофы" – существование различных устойчивых состояний – проявляется в том, что мы можем видеть несколько различных привлекательных для нас вариантов деятельности. Это могут быть несколько институтов, в которые мы можем поступить (в последние годы благодаря вступительным олимпиадам школьник к моменту окончания школы может быть уже зачислен в несколько вузов), несколько фирм, где нас согласны принять на работу, и т. п. Наряду с этим присутствует и второй "флаг" – неустойчивые состояния – места, где мы уж точно надолго не задержимся. Третий "флаг": приняв решение и став, например, студентом, мы испытываем стремительное изменение – и внешнее (меняется наш социальный статус, у нас появляются собственные деньги, пусть небольшие), и внутреннее (мы стремительно взрослеем). Четвертый "флаг": после выбора обратный путь практически невозможен – чтобы нас отчислили с первого курса, еще до сессии, нужно натворить что-то очень грандиозное. Но уж если отчислили, то просто так обратно не примут, и надо ждать подходящих условий – новых приемных экзаменов. Это пятый "флаг катастрофы".
Еще одним "флагом катастрофы" служит так называемое "критическое замедление", когда множество усилий не приводит к сколько-нибудь заметному изменению ситуации. Такой флаг был вывешен на историческом пути нашей страны в 80-е годы, когда колоссальные средства, вкладываемые в экономику, например в сельское хозяйство, уходили словно в песок, ничего существенно не изменяя.
Нетрудно заметить, что если исследователь наткнулся на один из этих "флагов", то управляющие параметры можно поменять так, чтобы стало возможным обнаружить и другие "флаги", которые обязательно должны проявить себя в подходящих условиях. Правда, в рассмотренном нами примере с выбором института экспериментировать вовсе не обязательно и даже нежелательно, если только вы не хотите пожертвовать собой ради подтверждения теории. Но в иных условиях, чтобы убедиться, что система действительно может претерпеть резкий скачок состояния, имеет смысл поискать и более представительный набор "флагов катастроф".
Теория катастроф является одной из частей более общей математической теории – качественной теории сложных нелинейных систем. Эта теория изучает общие принципы, проявляющиеся в различных ситуациях, и помогает лучше понять механизм действия природных сил. Один из таких механизмов описывает взаимодействие судьбы и свободы выбора, и математическая модель этого взаимодействия оказывается очень близка к мифологической.
В религиозных и философских системах судьба человека связывается с его предназначением, с его жизненным путем, определенным свыше. В мифах античности судьбой человека распоряжаются дочери Зевса Мойры, непреодолимость рока символизируется водами подземной реки Стикс. Если механизм рока запущен, то любое поведение героя неотвратимо влечет его к развязке (как, например, в ситуации с Эдипом, которому было предсказано убить своего отца), однако всегда существует один-единственный поступок, казалось бы, незначительный в сравнении с масштабом последующих событий, который запускает их череду; герой мог бы поступить иначе, и тогда мифическая история пошла бы совсем по другому пути. Примером этому может служить решение Париса отдать яблоко Афродите, что вызывает целый ряд неотвратимых последствий, вплоть до Троянской войны и путешествия Одиссея.
Вопросы о том, что определяет развитие мира, волновали умы мудрецов еще с древних времен. Анаксимандр из Милета (610- 540 до н. э.) учил: "Природа вечна, но в своем развитии она проходит через определенные фазы". Гераклит из Эфеса (520- 460 до н. э.) утверждал, что мир есть вечно существующий живой огонь, мерно разгорающийся и мерно потухающий. Следуя им, Эмпедокл из Акраганта (490- 430 до н.э.) считал, что мир проходит через бесконечную череду этапов – время господства "любви" сменяется периодом господства "вражды" и т. д.
Основная идея античной философии: мир существует вечно, и сегодняшнее его состояние – лишь одна из многих ступеней его пути. Однако единая основа мира неподвижна – об этом говорили и Платон, и философы-элеаты. Идея о том, что вселенной управляют математические законы, традиционно приписывается Пифагору. Он учил: "все есть число" и "числа правят миром". Все явления мира гармоничны, а законы гармонии задаются отношениями целых чисел, как частоты нот в консонансном аккорде.
Итак, гармония вечна и неизменна. Судьба же – это движение, она определяет наше будущее, неизвестное сейчас. Математические принципы развития появились значительно позже, в конце XVII века, с развитием исчислений бесконечно малых: описав взаимодей ствие частей системы и ее начальное состояние, можно было однозначно определить ее эволюцию. Казалось, тайна вселенной раскрыта – ее будущее уже определено настоящим, все предрешено, и все можно предсказать, решив дифференциальное уравнение, хотя и очень сложное.
Выразителем этой крайней точки зрения считают Бенедикта Спинозу (1632-1677): он утверждал, что в природе вещей нет ничего случайного, существует только необходимость, обусловленная законами природы. Случайность же приходится привлекать там, где мы чего-то не знаем.
В XVII-XIX веках этой детерминистской точки зрения придерживались большинство ученых. Предопределенность была синонимом объективности научных знаний, возможность точных предсказаний рассматривалась как величайший триумф науки. Но трудно поверить в то, что миллионы лет назад уже были точно запрограммированы и появление жизни, и все катаклизмы и войны, и все радости и напасти рода человеческого, и все наши поступки, порой такие непредсказуемые и неожиданные. Возможно ли такое?
Наука ХХ века дала множество математических моделей, которые свидетельствуют, что в специально организованной среде действительно могут возникать новые формы, не существовавшие ранее. Одна из них была предложена Дж. Конвеем как забавное развлечение, но из-за множества аналогий вдруг приобрела глубокий смысл. Речь идет об игре "Жизнь".
Правила ее очень просты: на тетрадном листе бумаги в ячейках прямоугольной сетки "живут" клеточки, подчиняясь простым правилам: если число соседей клетки больше трех или меньше двух, то она умирает. В пустой же ячейке с тремя "живыми" соседями может родиться новая клетка. Колония клеток демонстрирует разнообразное поведение в зависимости от начального состояния. Некоторые структуры исчезают, другие достигают стационарного поведения. Есть сообщества клеток, которые движутся, словно живые, – к ним относится так называемый "планер", или "парусник". Есть и более сложные конфигурации, например "планерное ружье", – эта колония клеток через 30 поколений возвращается в исходное состояние, рождая при этом один планер. Есть и "пожиратель планеров" – конструкция, которая поглощает налетающий на нее парусник и вновь поджидает очередную жертву.
Еще один пример. Простейшие математические формулы, определяющие расположение точек на плоскости, порождают необычайно сложные по своей структуре геометрические объекты – фракталы. Их узоры складываются из бесконечных повторений и вариаций фрагментов. Колоссальное разнообразие этих форм достигается изменением параметров в математическом законе их построения.
Эти примеры свидетельствуют о том, что в самой природе среды, в ее структуре может быть заложена возможность творить невероятное количество форм. Среда, словно первобытный хаос, наделена множеством структур. Проявить то или иное потенциальное состояние среды можно, определенным образом организовав ее начальную структуру: расставив живые клеточки, "зерна" жизни в первом примере или задав параметры закона повторения фрагментов в примере с фракталами.
Казалось бы, тезис Спинозы подтверждается, и мы – люди, привыкшие считать себя свободными в выборе своего жизненного пути, – тем не менее действуем в соответствии с неумолимыми законами судьбы, предписанными нашим окружением. И все наши мысли, стремления, эмоции, вдохновения и открытия оказываются следствием изначального распределения частичек вселенной...
Но рассмотрим еще один пример – игру в бильярд. Начальная пирамида разбивается первым шаром – порядок сменяется хаосом. Если толкнуть все шарики так, чтобы они покатились в обратном направлении, приобретя те же скорости, то, как предписывают математические законы движения, все они из хаоса соберутся в первоначальную пирамидку. Однако попытки осуществить такое движение на практике не приводят к успеху – дело в том, что сколь угодно малая ошибка в задании скоростей ведет к значительным расхождениям траекторий в будущем. Эта неустойчивость, свойственная развитию любой достаточно сложной системы, не позволяет полностью предсказать ее поведение на длительный период времени.
Математический анализ моделей сложных нелинейных открытых систем во второй половине ХХ века привел к возникновению новой науки – синергетики, открывшей общие принципы эволюции и механизмы их осуществления. В конце второго тысячелетия от Рождества Христова наука вновь вернула нас к древнему пониманию сущности мироздания – к представлению о двух силах, двух противоположных тенденциях, благодаря которым мир развивается и преображает ся, удерживаясь все же в относительном равновесии.
Сегодня на уровне математической теории можно утверждать, что любая достаточно сложная система, взаимодействующая со своим окружением, проходит в своем развитии определенные этапы. Вначале из неупорядоченных частей системы вдруг складываются и с колоссальной скоростью начинают расти множество структур – "новых форм". За счет противоположной, "разрушительной" тенденции скорость роста постепенно замедляется, некоторые формы исчезают, другие приобретают устойчивость. Эта тенденция рано или поздно одерживает верх, погружая все в изначальный хаос, и наступает кризис, порождающий структуры следующего этапа.
Таким образом, математическая модель развития совпадает с мифологической: согласно воззрениям Древней Индии, бог Брахма творит мир, упорядочивая хаос, а Шива разрушает его. В промежутках между двумя рождениями мир устойчив благодаря уравновешивающему началу – богу Вишну. В античных мифах порождающее божество Дионис выхватывает из хаоса бессчетное множество форм, а гармонизирующее начало – Аполлон – уравновешивает его взрывную творческую энергию, успокаивает бешеный рост форм, придает миру соразмерность. Нарушение гармонии – конфликт, необходимый для развития, – погружает систему в животворящий хаос, дающий ростки новой жизни.
Хаос – неизбежный, обязательный атрибут жизни любой достаточно сложной системы. Геометрическим образом хаоса может служить запутанный клубок ниток: по такой же замысловатой, никогда не повторяющейся траектории движется система в период кризиса. Так ведет себя атмосфера Земли – хотя погода сегодня похожа на вчерашнюю, она всегда чем-то от нее отличается, и нет двух одинаковых дней. Так работают сердце и мозг – на их регулярные ритмы наложен хаотический фон, и его исчезновение ведет к скорой смерти пациента.
Этап кризиса характеризуется крайней неустойчивостью: малейшее движение в сторону от траектории может заставить систему сменить сценарий своего развития. Она может отправиться "на второй круг" своей эволюции, лишь немного отличающийся от предыдущего, а может ценой незначительного усилия перейти на принципиально иную, новую орбиту движения. Ведь, действительно, в клубке ниток рядом всегда есть нити, которые ведут в другом направлении, надо лишь "перескочить" на них – и наша судьба резко изменится.
В математических моделях выйти из кризиса можно за счет изменения так называемых внешних параметров – рано или поздно они изменят среду так, что в ней исчезнет неустойчивость, порождающая хаос, и клубок траекторий вытянется во множество почти параллельных нитей. Резкие изменения сценария развития на таких этапах спокойного развития практически невозможны – ведь все нити идут в одном направлении, и требуется долгое путешествие с нитки на нитку, чтобы существенно поменять направление движения.
Образом преодоления кризиса в мифологических концепциях служит ковчег – корабль, несущий семена новой жизни по бушующему морю во время потопа. Ковчег преодолевает хаос благодаря вере капитана, знающего, что потоп не вечен, имеющего ясную цель и осознающего свою ответственность за будущее. Универсальные математические сценарии развития тоже говорят о преходящем характере хаоса. И чтобы не застрять в бессмысленных метаниях, надо успокоиться, не упустить момент окончания кризиса, уловить нужную тенденцию и без лишних затрат выйти на устойчивую траекторию.
Сейчас предмет изучения науки – мир, для которого характерны кризисы и обвальные процессы, все чаще встречающиеся в нашей повседневной жизни; мир неустойчивостей, когда малые и локальные изменения влекут за собой глобальные последствия; мир, в котором идут процессы становления и возникновения порядка из хаоса; мир, в котором чередующиеся этапы предопределенности и непредсказуемости образуют причудливую череду событий, которые нас окружают и частью которых мы являемся.
Неустойчивые модели долгое время считались некорректными и "изгонялись" из науки. Отражением этого стала точка зрения Ж. Адамара, французского математика, сформулированная им в начале XX века. Вдохновленный успехами математической физики в точном описании явлений реального мира, он ввел понятие корректной задачи как задачи, для которой решение существует, единственно и устойчиво. Задачи, для которых не выполнено хотя бы одно из этих требований, он считал неинтересными для практики.
Однако жизнь показала, что неустойчивость – необходимый атрибут нашего мира. Тем интереснее точка зрения Анри Пуанкаре, соотечественника и современника Адамара. Роберт Гилмор, автор книги "Catastrophe Theory for Scientists and Engineers", пишет: "Основы современного подхода к определению качественных изменений в поведении решений обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены почти 100 лет назад Пуанкаре... Эти работы... значительно опередили свое время. Сам Пуанкаре не смог реализовать намеченную им исследовательскую программу, так как был уже тяжело болен, а из его современников только А. Ляпунов следовал этой программе при изучении критических решений уравнений. После Ляпунова работы по теории бифуркаций практически прекратились... Такая ситуация сохранилась до 30-х годов, пока советские математики А. Андронов и Л. Понтрягин... вновь не обратились к идеям Пуанкаре. Особое оживление в этой области наблюдалось в 1950- 67 гг."
Глобальность изменений во взглядах на мир и на его описание математическими моделями характеризует следующий исторический факт. В 60-х годах XX века сэр Джон Лайтхил, президент Международной ассоциации математических исследований, посчитал своим долгом принести извинение просвещенному сообществу за то, что в течение 300 лет математики вводили человечество в заблуждение, так как концепция абсолютного детерминизма оказалась далеко не безусловной.
Илья Пригожин, лауреат Нобелевской премии, создатель неравновесной термодинамики, утверждает: "Покуда мы требовали, чтобы все динамические системы подчинялись одним и тем же законам, хаос был препятствием к пониманию. В замкнутом мире классической рациональности поиск знания легко мог приводить к интеллектуальному снобизму и высокомерию. В открытом мире, который мы сейчас учимся описывать, теоретическое знание и практическая мудрость нуждаются друг в друге".
Теория нелинейных систем – математическая дисциплина, и сама по себе она не может ни предотвратить резкое ухудшение обстановки, ни обеспечить быстрый выход из застоя. Но, как любая теория, она позволяет глубже вникнуть в суть вещей, явлений и процессов реального мира. С точки зрения математики катастрофа и хаос – вовсе не обязательно крушение всех надежд или еще какая-нибудь беда. Это резкая перестройка системы, качественный скачок ее состояния: неожиданный поворот жизненного пути, социальная революция, экономический бум. И важно в преддверии этих кризисных ситуаций найти нужный путь, не дающий "застрять" в кризисе. Помогают в этом знаки судьбы – "флаги катастроф", предупреждающие умеющего их читать, что пришел подходящий момент для головокружительного прыжка вверх. А если упустить момент, то будут тянуться перед тобой глухие кривые окольные тропы...
|
